【ドメイン】トランスファーの申込みをするとホームページやメールが利用できなくなってしまうのでしょうか?

お申込みをされても特に影響はございません(サーバーが稼動しているのみに限ります)。

ドメイン移管時は、移管前のネームサーバー情報は引き継がれます。
移管前よりご利用いただいているサーバー(ネームサーバーやWeb/メールサーバー)
が稼動している状況であれば、当該ドメインの運用に影響はございません。